矩阵变换(伸缩和旋转)
在讲特征值和特征向量之前，我们先来理解一下矩阵。
矩阵乘法对应了一个变换 ，是把任意一个向量变成另一个方向或长度都大多不同的新向量。在这个变换的过程中，原向量主要发生 旋转、伸缩 的变化。
为什么我们说矩阵具有旋转和伸缩的功能呢？矩阵代表一种变换，这种变化我们是无法直接描述的，我们只能通过它所作用的对象的变化来描述，就好像物理学中的“力”一样。我们用矩阵乘以一个向量，可以看到这个向量变到了另一个位置，而这个位置可以在原位置通过伸缩和旋转得到，所以我们说矩阵变换就是伸缩和旋转变换。其实从纯数字计算的角度，如果我们以作为基，在这组基张成的向量空间里，矩阵（也就是一个变换），其对角线上的值代表的就是伸缩，其他位置的值代表的就是旋转（不过这个旋转同时也会带来部分伸缩）。比如 的第一列就代表向量伸缩和旋转到了的位置。这个部分可能解释的不够精确，但是想必有人已经意会了。换个解释的说法就是，如果我们以作为基，在这组基张成的向量空间里，一个矩阵变换如果只有对角线上有值，那么这个矩阵变换仅代表伸缩，如果除了对角线以外，其他地方还有值，那么就带有一点旋转。如果我们以作为基，那么对于一个矩阵变换来说，就是副对角线上的值代表伸缩了。
特征值和特征向量
特征值和特征向量的公式：
说明A有这样一个功能：即对向量$x$变换后，长度拉伸$\lambda$倍，方向不变。
如果矩阵对某一个向量或某些向量只发生伸缩变换，不对这些向量产生旋转的效果，那么这些向量就称为这个矩阵的特征向量，伸缩的比例就是特征值。
计算特征向量的过程就是寻找一个正交系去表示你原来的函数，特征向量就是新的坐标系的坐标轴。
也就是说我们可以用特征向量和特征值去表示这个矩阵。那么问题来了，why？
不急，且听我慢慢道来。
根据上一节我们已经知道，矩阵=伸缩+旋转。同时，根据这一节，我们知道矩阵对特征向量只有伸缩功能，对其他向量有伸缩和旋转的功能。即矩阵=对特征向量的伸缩+对其他向量的伸缩和旋转。同时我要告诉大家的是 矩阵对特征向量的伸缩蕴涵了矩阵对其他向量的伸缩和旋转。所以有 矩阵=对特征向量的伸缩。
为什么 矩阵对特征向量的伸缩蕴涵了矩阵对其他向量的伸缩和旋转呢？因为对不同特征向量的伸缩的倍数不一样，导致用特征向量去表示其他向量（比如向量x）时，相较于特征向量未伸缩之前，其他向量就发生了伸缩和旋转。比如未伸缩之前的特征向量和,伸缩后变为和，那么在原坐标系中的向量就变到了的位置。所以矩阵对特征向量的伸缩蕴涵了矩阵对其他向量的伸缩和旋转。所以我们可以用特征值和特征向量就可以描述这个矩阵。
总结
假设一个矩阵是10维的，那么我们可以用10个向量（基）来描述这个矩阵。这10个向量就是特征向量。而且这些特征向量带有倍数$\lambda$，也就是说 基 并不是等长的，不是单位正交基。
